Bra saker att kunna inför tenta.
Definitioner:
1.
Def:
Def:
En funktion $f$ går mot gränsvärdet $A$ då $x \to \infty$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $N$ sådant att $|f - A| < \epsilon$ för varje $x>N$
Def:
En funktion $f$ går mot $A$ då $x->A$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $\delta > 0$ sådant att $| f- A | < \epsilon $ för varje $x$ sådant att $|x-a| < \delta $
2.
Def:
En funktion $f$ är kontinuerlig i $x0$ om
£ \lim_{x \to x0} f(x) = f(x0) £
3.
En funktion $f$ är deriverbar i $x0$ om
£ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} £
existerar. (Innebär ger värde)
4.
Om $f$ är deriverbar i $x0$ är $f$ kontinuerlig i $x0$.
Vill visa att
£\lim_{x \to x0} f(x) = f(x0). |x \to x0 \Rightarrow x = x0 + h \Rightarrow h \to 0 | £
Vill visa att $f(x0 + h) - f(x)$ då $h \to 0$
£\frac{f(x0 + h) - f(x0)}{h} * h \to f'(x0) * 0 = 0£
då $h \to 0$.
5.
Extremvärde:
£f(x) <= f(x0) £
för varje $x$ i en liten omgivning till $x0$ $(|x - x0| < \delta)$
Sats: Om $f$ är deriverbar och $x0$ är en extrempunkt är $f'(xo) = 0$ WLOG vi kan anta att f har ett lokalt maxvärde.
£ \lim_{h \to 0} \frac{f(x0 + h) - f(x)}{h} = <= 0 , h>0 \Rightarrow >=0, h<0 £
6.
Låt $f$ vara definierad och kontinuerlig i $[a,b]$ och deriverbar i $]a,b[$. Då finns $p \in ]a,b[$ sådant att $f'(p) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Sats:
Om $f'(x) = 0$ för varje $x \in ]a,b[$ då är $f$ konstant.
Bevis:
Tag $x1 != x2 \in ]a,b[$. Då finns $c \in [x1, x2]$ så att:
$f(x2) - f(x1) = f'(c)*(x2-x1) = 0$
7.
Låt $f$ vara kontinuerlig.
Viktiga formler:
Kurvlängd:
£ \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx £
Rotationsvolym:
x-axeln:
£ V = \int_a^b \pi * f(x)^2 dx £
y-axeln:
£ V = \int_a^b 2\pi xf(x) dx £
Integrationstekniker:
Partiell integration:
£ \int f(x)g(x) dx = [F(x)g(x)] - \int F(x)g'(x) dx £
Partialbråksuppdela:
£ \int \frac{f(x)}{(1+x)^n(x-2)}£
£ = \int \frac{A}{(1+x)} + \int \frac{C}{(1+x)^2} + ... + \int \frac{D}{(1+x)^n} + \int \frac{B}{faktor - g} £
Om i
£ \int \frac{f(x)}{g(x)} £
graden av f(x) >= graden i g(x), utför polynomdivision.
Differentialekvationer:
Efter lösningar av karakteristiska ekvationen:
Om $ r1 = r1 \Rightarrow (C+Dx)e^{r1x} $
Om $ r1 \neq r2 \Rightarrow Ce^{r1x} + De^{r2x}$
Om $ r1 \neq r2 \& r1,r2 \notin \mathbb{R} \Rightarrow e^{Re(r)x}\biggl(A\cos(Im(r)x) + B\sin(Im(r)x)\biggl) $