Fördelningar
Det finns vissa fördelningar som uppträder ur sannolikheter.
Normalfördelning
Hypergeometrisk fördelning
Binomialfördelning
Poissonfördelning
Exponentialfördelning
För-första-gångenfördelning
Bra saker att kunna inför tenta.
Definitioner:
1.
Def:
Def:
En funktion $f$ går mot gränsvärdet $A$ då $x \to \infty$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $N$ sådant att $|f - A| < \epsilon$ för varje $x>N$
Def:
En funktion $f$ går mot $A$ då $x->A$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $\delta > 0$ sådant att $| f- A | < \epsilon $ för varje $x$ sådant att $|x-a| < \delta $
2.
Def:
En funktion $f$ är kontinuerlig i $x0$ om
£ \lim_{x \to x0} f(x) = f(x0) £
3.
En funktion $f$ är deriverbar i $x0$ om
£ \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} £
existerar. (Innebär ger värde)
4.
Om $f$ är deriverbar i $x0$ är $f$ kontinuerlig i $x0$.
Vill visa att
£\lim_{x \to x0} f(x) = f(x0). |x \to x0 \Rightarrow x = x0 + h \Rightarrow h \to 0 | £
Vill visa att $f(x0 + h) - f(x)$ då $h \to 0$
£\frac{f(x0 + h) - f(x0)}{h} * h \to f'(x0) * 0 = 0£
då $h \to 0$.
5.
Extremvärde:
£f(x) <= f(x0) £
för varje $x$ i en liten omgivning till $x0$ $(|x - x0| < \delta)$
Sats: Om $f$ är deriverbar och $x0$ är en extrempunkt är $f'(xo) = 0$ WLOG vi kan anta att f har ett lokalt maxvärde.
£ \lim_{h \to 0} \frac{f(x0 + h) - f(x)}{h} = <= 0 , h>0 \Rightarrow >=0, h<0 £
6.
Låt $f$ vara definierad och kontinuerlig i $[a,b]$ och deriverbar i $]a,b[$. Då finns $p \in ]a,b[$ sådant att $f'(p) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
Sats:
Om $f'(x) = 0$ för varje $x \in ]a,b[$ då är $f$ konstant.
Bevis:
Tag $x1 != x2 \in ]a,b[$. Då finns $c \in [x1, x2]$ så att:
$f(x2) - f(x1) = f'(c)*(x2-x1) = 0$
7.
Låt $f$ vara kontinuerlig.
Viktiga formler:
Kurvlängd:
£ \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2} dx £
Rotationsvolym:
x-axeln:
£ V = \int_a^b \pi * f(x)^2 dx £
y-axeln:
£ V = \int_a^b 2\pi xf(x) dx £
Integrationstekniker:
Partiell integration:
£ \int f(x)g(x) dx = [F(x)g(x)] - \int F(x)g'(x) dx £
Partialbråksuppdela:
£ \int \frac{f(x)}{(1+x)^n(x-2)}£
£ = \int \frac{A}{(1+x)} + \int \frac{C}{(1+x)^2} + ... + \int \frac{D}{(1+x)^n} + \int \frac{B}{faktor - g} £
Om i
£ \int \frac{f(x)}{g(x)} £
graden av f(x) >= graden i g(x), utför polynomdivision.
Differentialekvationer:
Efter lösningar av karakteristiska ekvationen:
Om $ r1 = r1 \Rightarrow (C+Dx)e^{r1x} $
Om $ r1 \neq r2 \Rightarrow Ce^{r1x} + De^{r2x}$
Om $ r1 \neq r2 \& r1,r2 \notin \mathbb{R} \Rightarrow e^{Re(r)x}\biggl(A\cos(Im(r)x) + B\sin(Im(r)x)\biggl) $
Definitioner Teoriuppgifter
Limes:
Definition:
Låt $f$ vara en funktion definierad för alla $x \geq a$, för något $x \in \mathbb{R} $
Vi säger att f konvergerar mot $A$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $N$ sådant att
$| f(x) - A | < \epsilon $ då $ x > N$
Männskligt språk:
$f$ går mot $A$ $( f \to A)$ om man från y-axeln kan dra två linjer väldigt nära y och det inte för några punkter längre fram finns en punkt som frånskrider dessa. Alltså, om avståndet mellan $f(x)$ och $A$ hm.. det står i mina anteckningar att det är avståndet mellan $f(x)$ och $a$, men jag tänker att det borde vara $A$..
Hursomhelst, om man kan hitta små $\epsilon$ som $f(x)$ håller sig inom då $x \geq N$, där $N$ är en linje på x-axeln.
Kontinuitet:
Låt $f$ vara en funktion definierad i en omgivning av $a$. Vi säger att $f$ är kontinuerlig i $a$ om
£ \lim_{x \to <} f(x) = f(a) £
Deriverbar:
En funktion $f$ som är definierad i en omgivning av punkten $x0$ sägs vara deriverbar i x0 om
£\lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h) - f(x)}{h} £ existerar.
Värdet kallas derivatan av $f$ i punkten $x0$ och skrivs $f'(x)$
Kontinuerlig i deriverbar punkt:
Vi vet att
£\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} £
existerar. Vi vill visa att
£ \lim_{h \to 0} f(x+h) - f(x) = 0 £
existerar.
£ \lim_{h \to 0} ( f(x+h) - f(x) = \lim_{h \to 0} \biggl ( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} * h \biggl ) = 0 £
Extremvärden:
Definition:
En punkt $x0 \in R$ till en funktion $f$ är en lokal maximipunkt om det finns $\delta > 0$ sådant att $f(x0) >= f(x)$ för varje $x$ sådant att $|x-x0| < \delta$.
Sats:
Om $f$ har ett lokalt mamimum i $x0$ och f är deriverbar i x0 då är $f'(x0) = 0$
Bevis:
£\lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h) - f(x)}{h} <= 0, h>0, >=0, h<0 \Rightarrow f'(x0) = 0 £
Sats: Medelvärdessatsen (fråga 6):
Låt $f$ vara deriverbar i $]a,b[$ och kontinuerlig i $[a,b]$. Då gäller att det finns ett tal $c \in ]a,b[$ där $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$.
Alt: $(b-a)*f'(c) = f(b) - f(a)$.
Följdsats: Om $f$ är deriverbar och $f'(x) = 0$ för alla $x$ i $]a,b[$ så är f konstant i detta intervall.
Fråga 7
Fråga 8
Antag att $f$ är kontinuerlig i $[a,b]$
$ s(x)= \int_a^x \! f(t) \, \mathrm(d) t är deriverbar i ]a,b[ och s'(x) = f(x)$
Bevis:
£ s'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{s(x+h) - s(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^{x+h} f(t)dt - \int_a^{x} f(t)dt}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t)dt}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c) * h}{h} = f(c) = f(x) , c \in [x, x+h] £
Fråga 9
Se föreläsning 10. Wahahahah
Fråga 10
Se föreläsning 10. igen.
Fråga 11
Exempel
£ \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2})^k = \sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{2})^k - 1£
Där 1 är första termen som las till, $ (\frac{1}{2})^0 = 1$
Alltså:
Alltså:
£ \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{2})^k = \sum_{k=0}^{n}(\frac{1}{2})^k - (\frac{1}{2})^0 = 1 £
Lördag 20/10 Derivator
Lite deriveringslagar som han vara bra att ha koll på.
£ f(x) \Rightarrow f'(x) £
£ f(g(x)) \Rightarrow f'(g(x)) * g'(x) £
£\frac{f}{g} \Rightarrow \frac{f'g - fg'}{g^2} £
£f(x) + g(x) \Rightarrow f'(x) + g'(x) £
Denna:
£ \frac{1}{g(x)} \Rightarrow \frac{g'(x)}{g(x)^2} £
Sedan, lite derivator som är jobbiga och bra att komma ihåg.
Seriöst vore att skriva ned härledningarna för dem..
£D \sin(x) = \cos(x) £
£D \cos(x) = -\sin(x) £
£D tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} £
£D cot(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)} £
Dom är är de man kanske ska härleda:
£D \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} £
£D \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}£
£D \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} £
$arccot$ är kanske onödig, men den är det negativa av $\arctan$
Testinlägg
Hej, vilken fin blogg jag har C:
Lite matte:
$$ \frac{5}{2} $$
Annan matte:
$ \frac{2}{5} $
Välkommen till min nya blogg!
Mitt första inlägg.