Definitioner Teoriuppgifter
Limes:
Definition:
Låt $f$ vara en funktion definierad för alla $x \geq a$, för något $x \in \mathbb{R} $
Vi säger att f konvergerar mot $A$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $N$ sådant att
$| f(x) - A | < \epsilon $ då $ x > N$
Männskligt språk:
$f$ går mot $A$ $( f \to A)$ om man från y-axeln kan dra två linjer väldigt nära y och det inte för några punkter längre fram finns en punkt som frånskrider dessa. Alltså, om avståndet mellan $f(x)$ och $A$ hm.. det står i mina anteckningar att det är avståndet mellan $f(x)$ och $a$, men jag tänker att det borde vara $A$..
Hursomhelst, om man kan hitta små $\epsilon$ som $f(x)$ håller sig inom då $x \geq N$, där $N$ är en linje på x-axeln.
Kontinuitet:
Låt $f$ vara en funktion definierad i en omgivning av $a$. Vi säger att $f$ är kontinuerlig i $a$ om
£ \lim_{x \to <} f(x) = f(a) £
Deriverbar:
En funktion $f$ som är definierad i en omgivning av punkten $x0$ sägs vara deriverbar i x0 om
£\lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h) - f(x)}{h} £ existerar.
Värdet kallas derivatan av $f$ i punkten $x0$ och skrivs $f'(x)$
Kontinuerlig i deriverbar punkt:
Vi vet att
£\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} £
existerar. Vi vill visa att
£ \lim_{h \to 0} f(x+h) - f(x) = 0 £
existerar.
£ \lim_{h \to 0} ( f(x+h) - f(x) = \lim_{h \to 0} \biggl ( \frac{f(x+h) - f(x)}{h} * h \biggl ) = 0 £
Extremvärden:
Definition:
En punkt $x0 \in R$ till en funktion $f$ är en lokal maximipunkt om det finns $\delta > 0$ sådant att $f(x0) >= f(x)$ för varje $x$ sådant att $|x-x0| < \delta$.
Sats:
Om $f$ har ett lokalt mamimum i $x0$ och f är deriverbar i x0 då är $f'(x0) = 0$
Bevis:
£\lim_{h \to 0} \frac{f(x0+h) - f(x)}{h} <= 0, h>0, >=0, h<0 \Rightarrow f'(x0) = 0 £
Sats: Medelvärdessatsen (fråga 6):
Låt $f$ vara deriverbar i $]a,b[$ och kontinuerlig i $[a,b]$. Då gäller att det finns ett tal $c \in ]a,b[$ där $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}$.
Alt: $(b-a)*f'(c) = f(b) - f(a)$.
Följdsats: Om $f$ är deriverbar och $f'(x) = 0$ för alla $x$ i $]a,b[$ så är f konstant i detta intervall.
Fråga 7
Fråga 8
Antag att $f$ är kontinuerlig i $[a,b]$
$ s(x)= \int_a^x \! f(t) \, \mathrm(d) t är deriverbar i ]a,b[ och s'(x) = f(x)$
Bevis:
£ s'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{s(x+h) - s(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\int_a^{x+h} f(t)dt - \int_a^{x} f(t)dt}{h} =
\lim_{h \to 0} \frac{\int_x^{x+h} f(t)dt}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(c) * h}{h} = f(c) = f(x) , c \in [x, x+h] £
Fråga 9
Se föreläsning 10. Wahahahah
Fråga 10
Se föreläsning 10. igen.
Fråga 11