archnisse.blogg.se

Egenskaper:

 

$ 0 <= P(x) <= 1$

 

$P(x) = 1 - P(x*)$

 

£P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}£

Om $P(B) > 0$

 

Ekvivalenta påståenden om oberoende:

 

1. $A$ och $B$ oberoende.

2. $A*$ och $B$ oberoende.

3. $A$ och $B*$ oberoende.

4. $A*$ och $B*$ oberoende.

 

$A$ och $B$ är oberoende om:

£ P(A \cap B) = P(A) * P(B) £

gäller.

Detta ger:

£ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \{ober.\} = \frac{P(A)*P(B)}{P(B)} = P(A) £

 

 

 

 

Permutationer:

 

£P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}£

 

Kombinationer:

"En kombination är en permutation där man inte bryr sig om ordningen"

tex, 5 personer ska sitta på 3 stolar. En permutation räknar på hur många olika sätt de kan sitta på stolarna, så att samtliga haft samtliga som granne, en kombination räknar hur många olika grupper som kan formas utan hänsyn till hur de sitter.

 

£C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}£

 

 

När använda?

Används när antalet lyckade försök räknas vid oberoende upprepningar av samma försök. Dvs "Försök med återläggning"

$n$ oberoende försök upprepas och precis $k$ av dessa lyckas.

Beteckning: Bin($n$, $p$)

 

Formel för $n$ försök, $k$ lyckanden och $p$ sannolikhet:

£ P_{X}(k) = \bigg ( \begin{array}{c} n \\ r \end{array} \bigg ) p^k (1 - p)^{n-k}£

 

Med denna sannolikhetsfunktion säges $X$ vara Binomialt fördelad.

 

 

Den klassiska sannolikhetsdefinitionen är ganska intuitiv, kvoten mellan antalet möjliga lyckade utfall och totala antalet möjliga utfall.

 

$g = gällande \space utfall$

$m = möjliga \space utfall$

 

£p = \frac{g}{m}£

Stokastiska variabler eller "Random variables" på engelska är variabler som antar olika värden och används i sannolikhetsläran för att anta olika värden på utfall.

 

Det finns två typer av stokastiska variabler:

Diskreta stokastiska variabler har egenskapen att de är ändligt många, det GÅR att räkna upp antalet. Spelar ingen roll om det sträcker sig upp till en miljard eller högre, sålänge de går att räkna. Exempel är antalet dollar som omsätts en dag av amerikanska börsen (eget), det är ett stort antal men inte oändligt.

Kontinuerliga stokastiska variabler går inte att räkna upp, det finns ett oändligt antal värden som variablen kan anta. Exempel är "den exakta vinnartiden för en olympisk simmare" (khan academy "Discrete and continuous variables"), tiden som vinnaren tilldelas är avrundad till hundradelar, men det finns ett oändligt antal decimaler som vi inte kan peka ut, därav en kontinuerlig stokastisk variabel.

 

 

Väntevärdet för $X$, $E(X)$ översätts till "expectation", det förväntade värdet för $X$.

I ett lotteri kan man tala om förväntad vinst, med avseende på samtliga vinster och deras sannolikhet skapas ett genomsnitt.

£ E(X) = \sum_{alla \space k}{} k P_{X}(k)£

 

 

£ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f_{X} (x) dx£

 

Vilken som passar bäst av dessa beror på om det är en diskret eller kontinuerlig stokastisk variabel.

 

Varians, definieras genom $V(X)$

£ V(X) = E((X - E(X))^2) = E((X - \mu)^2) £

$ \mu = E(X) $

Kan även definieras med hjälp av samtliga punkter i datan, men $E(X)$ är fortfarande inblandat så det kanske bara blir samma sak i slutet ändå.

(X - E(X)) ^2 för varje X i datan. Vilket är precis vad det sista i formeln säger, antar jag. Den med $\mu$.

 

£D(X) = \sqrt{V(X)}£