Annan lösning för uppgift 1.126:
För positiva $ x $
£f(x) = \arctan x + arccot x £
£\arctan x = t, \tan t = x £
$\tan \alpha = \frac{a}{b} = x$
£a = x, b = 1. c = \sqrt{ 1 + x^2} £
£\alpha = \arctan x £
£\cot \beta = \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}} \Rightarrow £
£ \Rightarrow \frac{x * \sqrt{1+x^2}}{1*\sqrt{1+x^2}} = \frac{x}{1} = x £
£\cot \beta = arccot x£
£\arctan(\tan \alpha ) + arccot ( \cot \beta ) = \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} £
Annan lösning på 1.128:
$ \alpha = \arctan x $ Visa att $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1+x^2}$
£\tan \alpha = x £
om $\alpha > 0$
så är $a = x $ och $b = 1$ vilket ger $c = \sqrt{1+x^2}$
£\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{1+x^2} £
om $\alpha < 0$ så blir $x < 0$ vilket ger samma resultat.
1.129
Är $\arccos (1+x^2)^-1/2 = \arctan |x| , x \in R $?
Använder samma kvadrat som ovan, $\alpha = t $
Antag $x<0$
£t = \arctan x, \tan t = x £
£\cos t = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, t = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} £
£\arccos(1+x^2)^-½ = t , \arctan |x|= t£
$x<0$ alltså $-x$ ger samma.
Jag avslutar med ett tal rörande binomialsatsen från extentan 2012-02-12
Uppg. 4
Bestäm koefficienten framför den term som inte innehåller x i utvecklingen av:
£ (\frac{x^8}{a} - \frac{b}{x^6})^{14} £
Jag skriver om uttrycket
£ (\frac{x^8}{a} - bx^{-6})^{14} £
Binomialsatsen ger:
£\sum_{k}^{14} {14 \choose k}\biggl (\frac{x^8}{a}\biggl )^{k} \biggl (\frac{-b}{x^6}\biggl )^{14-k} \Rightarrow£
£ \Rightarrow \sum_{k}^{14} {14 \choose k} \frac{x^{k*8}}{a^k} \frac{-b^{14-k}}{x^{6(14-k)}} \Rightarrow£
£\Rightarrow \sum_{k}^{14} {14 \choose k} x^{(8k-6(14-k))}*-b^{n-k}*a^{-k} £
Potensen över x ska få summan $0$, detta ger $k=6$
£{14 \choose 6} * x^0 * -b^8a^{-6} = \frac{14!}{6!8!} * \frac{b^8}{a^6} \Rightarrow£
£\frac{14*13*12*11*10*9}{6*5*4*3*2}*\frac{b^8}{a^6} = 7*13*11*3\frac{b^8}{a^6} £
Svar: $7*13*11*3\frac{b^8}{a^6}$
