archnisse.blogg.se

Aritmetisk summa:

£ \sum_{n}^{k} \biggl ( x*k \biggl ) = \frac{första termen+sista termen}{2}* antalet termer £

 

Geometrisk summa:

Första termen $ * \frac{kvoten^{antalet termer}-1}{kvoten - 1} $

 

Exempel på geometrisk summa:

£\sum_{n=1}^{10}\frac{2^n}{3^n} = \frac{2}{3}\frac{\frac{2}{3}^{10} - 1}{\frac{2}{3} - 1}£

£ \biggl \{ \frac{\frac{2}{3}}{\frac{-1}{3}} = -2 \biggl \} £

£ -2 * (\frac{2}{3}^{10} - 1) = 2-2(\frac{2}{3})^{10} £

£ \frac{2}{3}^{10} = 0.0173.. £

£2-0.03.. =1.96..£

 

Also, kom ihåg:

 

£ \cos²2x = \frac{\cos x + 1}{2} £

That is some good shit

Annan lösning för uppgift 1.126:

För positiva $ x $

£f(x) = \arctan x + arccot x £

£\arctan x = t, \tan t = x £

$\tan \alpha = \frac{a}{b} = x$

£a = x, b = 1. c = \sqrt{ 1 + x^2} £

£\alpha = \arctan x £

£\cot \beta = \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}} \Rightarrow £

£ \Rightarrow \frac{x * \sqrt{1+x^2}}{1*\sqrt{1+x^2}} = \frac{x}{1} = x £

£\cot \beta = arccot x£
£\arctan(\tan \alpha ) + arccot ( \cot \beta ) = \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} £

 

Annan lösning på 1.128:

$ \alpha = \arctan x $ Visa att $\cos^2 \alpha = \frac{1}{1+x^2}$

£\tan \alpha = x £

om $\alpha > 0$

så är $a = x $ och $b = 1$ vilket ger $c = \sqrt{1+x^2}$

£\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} \Rightarrow \cos^2 x = \frac{1}{1+x^2} £

om $\alpha < 0$ så blir $x < 0$ vilket ger samma resultat.

 

1.129

Är $\arccos (1+x^2)^-1/2 = \arctan |x| , x \in R $?

Använder samma kvadrat som ovan, $\alpha = t $

Antag $x<0$

£t = \arctan x,  \tan t = x £

£\cos t = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},  t = \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} £

£\arccos(1+x^2)^-½ = t , \arctan |x|= t£

$x<0$ alltså $-x$ ger samma.

 

Jag avslutar med ett tal rörande binomialsatsen från extentan 2012-02-12

Uppg. 4

Bestäm koefficienten framför den term som inte innehåller x i utvecklingen av:

£ (\frac{x^8}{a} - \frac{b}{x^6})^{14} £

Jag skriver om uttrycket

£ (\frac{x^8}{a} - bx^{-6})^{14} £

Binomialsatsen ger:

£\sum_{k}^{14} {14 \choose k}\biggl (\frac{x^8}{a}\biggl )^{k} \biggl (\frac{-b}{x^6}\biggl )^{14-k} \Rightarrow£

£ \Rightarrow \sum_{k}^{14} {14 \choose k} \frac{x^{k*8}}{a^k} \frac{-b^{14-k}}{x^{6(14-k)}} \Rightarrow£

£\Rightarrow \sum_{k}^{14} {14 \choose k} x^{(8k-6(14-k))}*-b^{n-k}*a^{-k} £

Potensen över x ska få summan $0$, detta ger $k=6$

£{14 \choose 6} * x^0 * -b^8a^{-6} = \frac{14!}{6!8!} * \frac{b^8}{a^6} \Rightarrow£

£\frac{14*13*12*11*10*9}{6*5*4*3*2}*\frac{b^8}{a^6} = 7*13*11*3\frac{b^8}{a^6} £

Svar: $7*13*11*3\frac{b^8}{a^6}$

Första dagen av pluggdagboken. Det känns spontant som att det kommer ta rätt lång tid att varje dag föra in vad man lärt sig under dagen. Men om det fungerar, så antar jag att det är värt det.

 

Vi jobbade matte, och fick lära oss en härledning:

 

Visa att om $ y = \arctan(x)$ så är $ cos^2(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} $

 £ y = \arctan(x) \Rightarrow \tan(y) = x £

£ \cos^2(y) = \frac{\cos^2(y)}{1} = \frac{\cos^2(y)}{\cos^2y+\sin^2y} \Rightarrow £

£ \Rightarrow \frac{\frac{\cos^2y}{\cos^2y}}{\frac{\cos^2y}{\cos^2y}+\frac{\sin^2y}{\cos^2y}} \Rightarrow \frac{1}{1 + \tan^2y} £

£ \tan y = x £

£ \frac{1}{1 + x^2} £ Q.E.D

 

Nästa tal, jag och Daniel kan ha råkat lösa det på ett annat sätt än boken, och enligt oss var det snyggare.

Bevisa att $f(x) = \arctan x + arccot x $ har ett konstant värde och beräkna det.

£ \arctan x + arccot x = \arctan \tan v + arccot \cot u = u + v £

£ x = \frac{\sin v}{\cos v} , x = \frac{\cos u}{\sin u} £

£ \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{\cos u}{\sin u} \Rightarrow£

Förlänger med $\cos v $ samt $\sin u$

£ \sin v \sin u = \cos u \cos v \Rightarrow \sin v \sin u - \cos u \cos v \ = 0 \Rightarrow £

£ \Rightarrow \cos (u + v) = 0 , u + v = \frac{\pi}{2} £

Sedan får man se till definitionsmänden för $ \arctan $ och $ arccot $ för att se om det passar in, och om man bör räkna med en period på $ \cos (u + v) $

Se till triangeln,

Uppgift 1.117 a) Lös ekvationen

£ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} £

Från triangeln till vänster kan vi se att om $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ och $C = 1 $så är $ a = \frac{1}{2} $ och $ b = \frac{\sqrt{3}}{2} $

£ \frac{1/ 2}{\sqrt{3}/ 2} = \frac{2 * 1}{2 *\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} £

 

Hej, vilken fin blogg jag har C:

 

Lite matte:

$$ \frac{5}{2} $$ 

 

Annan matte:

$ \frac{2}{5} $