archnisse.blogg.se

Första dagen av pluggdagboken. Det känns spontant som att det kommer ta rätt lång tid att varje dag föra in vad man lärt sig under dagen. Men om det fungerar, så antar jag att det är värt det.

 

Vi jobbade matte, och fick lära oss en härledning:

 

Visa att om $ y = \arctan(x)$ så är $ cos^2(\arctan x) = \frac{1}{1+x^2} $

 £ y = \arctan(x) \Rightarrow \tan(y) = x £

£ \cos^2(y) = \frac{\cos^2(y)}{1} = \frac{\cos^2(y)}{\cos^2y+\sin^2y} \Rightarrow £

£ \Rightarrow \frac{\frac{\cos^2y}{\cos^2y}}{\frac{\cos^2y}{\cos^2y}+\frac{\sin^2y}{\cos^2y}} \Rightarrow \frac{1}{1 + \tan^2y} £

£ \tan y = x £

£ \frac{1}{1 + x^2} £ Q.E.D

 

Nästa tal, jag och Daniel kan ha råkat lösa det på ett annat sätt än boken, och enligt oss var det snyggare.

Bevisa att $f(x) = \arctan x + arccot x $ har ett konstant värde och beräkna det.

£ \arctan x + arccot x = \arctan \tan v + arccot \cot u = u + v £

£ x = \frac{\sin v}{\cos v} , x = \frac{\cos u}{\sin u} £

£ \frac{\sin v}{\cos v} = \frac{\cos u}{\sin u} \Rightarrow£

Förlänger med $\cos v $ samt $\sin u$

£ \sin v \sin u = \cos u \cos v \Rightarrow \sin v \sin u - \cos u \cos v \ = 0 \Rightarrow £

£ \Rightarrow \cos (u + v) = 0 , u + v = \frac{\pi}{2} £

Sedan får man se till definitionsmänden för $ \arctan $ och $ arccot $ för att se om det passar in, och om man bör räkna med en period på $ \cos (u + v) $

Se till triangeln,

Uppgift 1.117 a) Lös ekvationen

£ \tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} £

Från triangeln till vänster kan vi se att om $ \alpha = \frac{\pi}{6} $ och $C = 1 $så är $ a = \frac{1}{2} $ och $ b = \frac{\sqrt{3}}{2} $

£ \frac{1/ 2}{\sqrt{3}/ 2} = \frac{2 * 1}{2 *\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} £