Föreläsning 7
Föreläsning 7
Inledande exempel: Priset på en nyutgiven mattebok är iu början högt för att med tiden gå mot den naturliga inflationshöjningen.
£ f(x) = \frac{2x³+5x²+x+15}{x²+1} £
£\lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - (kx +m) \biggl ) = 0 £
om
£\lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - (kx +m) \biggl ) = 0 £
så är
£ \lim_{x \to \infty} \frac{( f(x) - (kx +m) )}{x} = 0 £
Någon nära 0 delar med oändlighet blir ju bara närmre 0.
i så fall
£ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{kx}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{m}{x} = 0 £
$\frac{kx}{x}$ går mot $k$, och $\frac{m}{x}$ går mot 0.
£\Rightarrow k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}£
I vårt fall får vi
£ k = \lim_{x \to \infty} \frac{2x³ + 5x² + x + 15}{x(x²+1)} = 2 £
£ \lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - kx \biggl ) = m £
I vårt fall:
£ m = \lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - kx \biggl ) = \lim_{x \to \infty} \biggl ( \frac{2x³+5x²+x+15}{x(x²+1)} - 2x \biggl ) .... = 5 £
Alltså $ y = 2x + 5 $.
Definition:
En linje $x = a$ kallas en lodrät asymptot om
£\lim_{x \to a-} f(x) = \pm \infty £
eller
£ \lim_{x \to a+} f(x) = \pm \infty £
Definition:
En linje $y = kx + m$ är en sned arymptot till $f$ om
£ \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx - m) = 0 £
eller
£ \lim_{x \to \infty-} (f(x) - kx - m) = 0 £
Ex:
Bestäm asymptoten till $f(x) = x + arctan(x)$.
Eftersom $f$ är kontinuerilig finns det inga lodräta asymptoter.
Sneda asymptoter:
£ k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \biggl ( \frac{x}{x} + \frac{\arctan(x)}{x} \biggl ) = 1£
£ m = \lim_{x \to \infty} ( f(x) - kx ) = \lim_{x \to \infty} ( x + \arctan(x) - x) = £
£ = \lim_{x \to \infty} (\arctan(x)) = \frac{\pi}{2} £
Hur skissa graf?
- Bestäm Definitionsmängden, Df
- Bestäm stationära punkter och ej deriverbara punkter
- Gör en teckenstudie av derivatan
- Beräkna funktionsvärderna i de:
- - De stationära punkterna
- - Ej deriverbara punkterna
- - Randpunkterna (De som är inkluderade i Df)
- Beräkna gränsvärdena för randpunkter och kring punkter där x ej är deriverbar
- Bestäm lodräta och sneda asymptoter
Ex:
Rita kurvan $f(x) = xe^{-\frac{1}{x}}$
- Vi ser att $Df = {x \in \R, x \neq 0}
Lodrät asymptot vid $x = 0$?
£\lim_{x \to 0-} £