Måndag 8/10
Varit dålig på att uppdatera, skyller på.. stuff.. Varit på hajk och saker.
Nu har vi börjat med envariabelanalys. Det är abstraktare matte, och handlar mycket om gränsvärden som jag förstått det än så länge.
Ett exempel med gränsvärden:
Beräkna gränsvärdet av $ \frac{n+n^2-1}{3n^2+1} $
£ \lim_{x \to \infty} \frac{n+n^2-1}{3n^2+1} \Rightarrow £
Dividera med den dominanta termen, i det här fallet $n^2$
£\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+2-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{1}{n^2}} £
När $n \to \infty$ ser vi att uttrycket går mot
£ \frac{0 + 2 + 0}{3 + 0} = 2/3 £
Dominerande term - det term som växer snabbast mot oändligheten
Olika definitioner tycker Tomas om att hålla på med under föreläsningarna. De är väldigt abstrakta dock och ofta förvirrande.
Definition:
Låt $f$ vara en funktion definierad för alla $x \geq a$, för något $x \in \mathbb{R} $
Vi säger att f konvergerar mot $A$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $N$ sådant att
$| f(x) - A | < \epsilon $ då $ x > N$
Männskligt språk:
$f$ går mot $A$ $( f \to A)$ om man från y-axeln kan dra två linjer väldigt nära y och det inte för några punkter längre fram finns en punkt som frånskrider dessa. Alltså, om avståndet mellan $f(x)$ och $A$ hm.. det står i mina anteckningar att det är avståndet mellan $f(x)$ och $a$, men jag tänker att det borde vara $A$..
Hursomhelst, om man kan hitta små $\epsilon$ som $f(x)$ håller sig inom då $x \geq N$, där $N$ är en linje på x-axeln.
Definition:
En funktion $f$ går mot $\infty$ då $x \to \infty$ om det för varje $M$
finns ett $N$ sådant att $f(x) \geq M$ då $x \geq N$
Mänskligt språk:
Funktionen är strängt växande om det för varje $M$ (tal i y-axeln) finns ett $N$ sådant att $f(x) \geq M$ då $x \geq N$. Den var rätt enkel tycker jag. Den säger kort sat att om en funktion hela tiden växer så är den strängt växande.