archnisse.blogg.se

Fler definitioner! Och lite mer.. Säkert.

 

 

Visa att $f(x) = 2+3^{-x}$ konvergerar mot $2$, då $x \to \infty$

 

Tal $\epsilon > 0$. Vi vill finna ett $N$ sådant att $|2+3^{-x} - 2| < \epsilon$ för varje $x \geq N$

 

£|2+3^{-x} - 2| < \epsilon \Leftrightarrow 3^{-x} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} < 3^{x}£

3-logaritmerar båda sidorna.

£\log_{3}(\frac{1}{\epsilon}) < \log_{3}(3^x) = x £

Vi kan då säga att $N = 42 \times \log_{3}(\frac{1}{\epsilon})$

Vi ser alltså att det gick att hitta ett $N$ sådant att $|f(x) - A| < \epsilon $ då $ x > N$

 

 

 

 

 

Om $f(x) < g(x) $ för varje $x$, så gäller att

£ \lim_{x \to \infty} f(x) < \lim_{x \to \infty} g(x) £