Newtons metod för icke linjära ekvationssystem
För över ekvationerna på standardformen $f(x) = 0$
I fallet då det gäller fler ekvationer och eller variabler vill vi ställa upp en Jakobianmatris. När derivatan/derivatorna helt enkelt inte representerar 1 (ett) tal.
Iterationen går då till som så att $\delta x$ räknas ut av $-J \backslash F$, där $J$ är Jakobianen och $F$ funktionerna i systemet.
Om jakobianen inte kan räknas ut numeriskt går det oftast lika bra att numeriskt approximera den med antingen $framåtdifferens$ eller $centraldifferens$.
Iterationen beror då av fler $\delta$, vilket gör att de måste sammanfogas för att hitta en felgräns att iterera till. $\delta norm$ kan formas via $norm(\delta x, inf)$ som sedan kan användas för felgräns.
Konvergens: Kvadratisk
Algoritm för Newtons metod för ett icke linjärt system:
$\bullet$ Bestäm de analytiska uttrycken för elementen i jacobianmatrisen $J(x)$ genom partiella deriveringar.
$\bullet$ Utgå från så goda startgissningar som möjligt till de obekanta $x_i$
$\bullet$ (*) Beräkna $f$ och $J$ med instatta $x_i$-värden.
$\bullet$ Lös det linjära systemet $J \delta x = -f$ (i MATLAB med $\delta x = - J\backslash f$)
$\bullet$ Uppdatera: $x = x + \delta x$
$\bullet$ Upprepa från (*) tills önskad nogrannet erhålls.