archnisse.blogg.se

Trapetsregeln går ut på att man delar upp integralen i ett antal trapetser för att beräkna integralens värde.

£I \approx T(h) = h(\frac{f(a)}{2}+f(a+h)+f(a+2h)+...+f(a+(n-1)h)+\frac{f(b)}{2})£

där $h = \frac{b-a}{n}$ och $n$ är antalet intervall.

 

Lite kortare är trapetsregeln:

 

£I \approx T(h) =h \Bigg ( \sum_{i=1}^{n+1}f_i - \frac{f_1 + f_{n+1}}{2} \Bigg )£

 

Vilket i MATLAB kan skrivas:

$Th = h*(sum(f) - (f(1)+f(n+1))/2)$

där $f$ är en vektor med funktionsvärden i alla punkter.

 

Om man vill förbättre värdet från Trapetsregeln kan man använda richardsonsextrapolation återigen. Metoden kallas då för Rombergs metod.

 

Extrapolering:
Det vi behöver veta är att Trapetsregeln har kvadratisk konvergens, och med halverad stegläng $( Q = 2 )$ det det att Simsponvärdet räknas ut av:

£S = T_2 + \frac{T_2 - T_1}{Q^2 - 1} = T_2 + \frac{T_2 - T_1}{3}£

 

Simpsonvärdet kan antingen erhållas med extrapolation av Trapetsregeln eller Simpsonformel, vilket är lite mer komplicerad Trapetsformel. Simpsonformeln däremot har ordningsgrad 4, och vi kan med den vetskapen extrapolera ytterligare för att få ett exaktare värde.

 

Vi upprepar helt enkelt Richardsonsextrapolation med $p = 4$ efter att ha fått ut 2 S-värden:

£B = S_2+\frac{S_2 - S_1}{2^4 - 1} = S_2 +\frac{S_2 - S_1}{15}£

Även här utgår vi med $Q = 2$, alltså halverad steglängd.

 

I MATLAB kan man använda quad-funktion som löser integraler. Med en funktion lagrad i fq.m anropar man med:

$quad(@fq, start, slut)$

För att få lägre feltolerans:

$quad(@fq, start, slut, feltolerans)$

$@fq$ kan även bytas ut mot en inline som parameter.