Richardsonextrapolation
Richardsonexptrapolation utnyttjag Taylorutvecklingen som man tar reda på felet i derata-approximationen med för att ta fram ett bättre värde som ger färre iterationer.
$\delta h$ får beteckna derivatan i en punkt med ett visst h.
Framåtdifferens:
Vid två olika steglängder kan man räkna ut en bättre derivata med:
$f'(x) \approx \delta h_2 + \frac{\delta h_2 - \delta h_1}{9}$
Ovanstående beror av stegländens kvot, se Generellt nedan för förklaring.
Centraldifferens:
Centraldifferensen har en annan konvergens och får ett lite annorlunda utseende.
$f'(x) \approx \delta h_2 + \frac{\delta h_2 - \delta h_1}{99}$
Samma gäller denna som ovan.
Generellt:
Generellt kan man alltid använda richardsonextrapolation vid stegmetoder, det man behöver känna till är $trunkeringsfelet$ som jag tidigare i tal om derivator och här ovan har refererat till som $felet$ enbart. Med ett kännt trunkeringsfel $h^p$ och två uträkningar $F_2$ och $F_1$ där $F_1$ har steglängden $h$ och $F_2$ har steglängden $\frac{h}{Q}$ får vi:
$F* = F_2 + \frac{F_2 - F_1}{Q^p - 1}$