archnisse.blogg.se

Inledande exempel: Priset på en nyutgiven mattebok är iu början högt för att med tiden gå mot den naturliga inflationshöjningen.

£ f(x) = \frac{2x³+5x²+x+15}{x²+1} £

£\lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - (kx +m) \biggl ) = 0 £

om

£\lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - (kx +m) \biggl ) = 0 £

så är

£ \lim_{x \to \infty}  \frac{( f(x) - (kx +m) )}{x} = 0 £

Någon nära 0 delar med oändlighet blir ju bara närmre 0.

i så fall

£ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{kx}{x} - \lim_{x \to \infty} \frac{m}{x} = 0 £

$\frac{kx}{x}$ går mot $k$, och $\frac{m}{x}$ går mot 0.

 

£\Rightarrow k= \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}£

I vårt fall får vi

£ k = \lim_{x \to \infty} \frac{2x³ + 5x² + x + 15}{x(x²+1)} = 2 £

£ \lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - kx \biggl ) = m £

I vårt fall:

£ m = \lim_{x \to \infty} \biggl ( f(x) - kx \biggl ) = \lim_{x \to \infty} \biggl ( \frac{2x³+5x²+x+15}{x(x²+1)} - 2x \biggl ) .... = 5 £

Alltså $ y = 2x + 5 $.

 

En linje $x = a$ kallas en lodrät asymptot om

£\lim_{x \to a-} f(x) = \pm \infty £

eller

£ \lim_{x \to a+} f(x) = \pm \infty £

 

En linje $y = kx + m$ är en sned arymptot till $f$ om

£ \lim_{x \to \infty} (f(x) - kx - m) = 0 £

eller

£ \lim_{x \to \infty-} (f(x) - kx - m) = 0 £

 

Bestäm asymptoten till $f(x) = x + arctan(x)$.

Eftersom $f$ är kontinuerilig finns det inga lodräta asymptoter.

Sneda asymptoter:

£ k = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \biggl ( \frac{x}{x} + \frac{\arctan(x)}{x} \biggl ) = 1£

£ m = \lim_{x \to \infty} ( f(x) - kx ) = \lim_{x \to \infty} ( x + \arctan(x) - x) = £

£ = \lim_{x \to \infty} (\arctan(x)) = \frac{\pi}{2} £

 

• Bestäm Definitionsmängden, Df
• Bestäm stationära punkter och ej deriverbara punkter
• Gör en teckenstudie av derivatan
• Beräkna funktionsvärderna i de:
• - De stationära punkterna
• - Ej deriverbara punkterna
• - Randpunkterna (De som är inkluderade i Df)
• Beräkna gränsvärdena för randpunkter och kring punkter där x ej är deriverbar
• Bestäm lodräta och sneda asymptoter

Lite deriveringslagar som han vara bra att ha koll på.

 

£ f(x) \Rightarrow f'(x) £

£ f(g(x)) \Rightarrow f'(g(x)) * g'(x) £

£\frac{f}{g} \Rightarrow \frac{f'g - fg'}{g^2} £

£f(x) + g(x) \Rightarrow f'(x) + g'(x) £

Denna:

£ \frac{1}{g(x)} \Rightarrow \frac{g'(x)}{g(x)^2} £

 

 

Seriöst vore att skriva ned härledningarna för dem..

 

£D \sin(x) = \cos(x) £

£D \cos(x) = -\sin(x) £

£D tan(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} £

£D cot(x) = -\frac{1}{\sin^2(x)} £

Dom är är de man kanske ska härleda:

£D \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} £

£D \arccos(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}£

£D \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} £

$arccot$ är kanske onödig, men den är det negativa av $\arctan$

£ \lim_{x \to \infty} \frac{x^\alpha}{a^x} \to 0  (a > 1) £

 

£ \lim_{x \to \infty} \frac{ln(x)}{x^\alpha} \to 0  (\alpha > 0) £ 

 

£ \lim_{x \to +0} x^{\alpha}ln(x) \to 0   (\alpha > 0) £

 

£ \lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} \to 1 £

 

£ \lim_{x \to 0} \biggl( 1 + x \biggl ) ^{\frac{1}{x}} \to e £

 

£ \lim_{x \to 0} \frac{ln( 1 + x )}{x} \to 1 £

 

£ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \to 1£

 

£ \lim_{n \to \infty} \biggl ( 1 + \frac{1}{n} \biggl ) ^n \to e £

 

£ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} \to 1 £

 

£ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} \to 1 £

 

£ \lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} \to 0 £

 

£ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} \to \infty £

Fler definitioner! Och lite mer.. Säkert.

 

 

Visa att $f(x) = 2+3^{-x}$ konvergerar mot $2$, då $x \to \infty$

 

Tal $\epsilon > 0$. Vi vill finna ett $N$ sådant att $|2+3^{-x} - 2| < \epsilon$ för varje $x \geq N$

 

£|2+3^{-x} - 2| < \epsilon \Leftrightarrow 3^{-x} < \epsilon \Leftrightarrow \frac{1}{\epsilon} < 3^{x}£

3-logaritmerar båda sidorna.

£\log_{3}(\frac{1}{\epsilon}) < \log_{3}(3^x) = x £

Vi kan då säga att $N = 42 \times \log_{3}(\frac{1}{\epsilon})$

Vi ser alltså att det gick att hitta ett $N$ sådant att $|f(x) - A| < \epsilon $ då $ x > N$

 

 

 

 

 

Om $f(x) < g(x) $ för varje $x$, så gäller att

£ \lim_{x \to \infty} f(x) < \lim_{x \to \infty} g(x) £

 

Varit dålig på att uppdatera, skyller på.. stuff.. Varit på hajk och saker.

 

Nu har vi börjat med envariabelanalys. Det är abstraktare matte, och handlar mycket om gränsvärden som jag förstått det än så länge. 

 

Ett exempel med gränsvärden:

 

Beräkna gränsvärdet av $ \frac{n+n^2-1}{3n^2+1} $

 

£ \lim_{x \to \infty} \frac{n+n^2-1}{3n^2+1} \Rightarrow £

Dividera med den dominanta termen, i det här fallet $n^2$

£\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{n}+2-\frac{1}{n^2}}{3+\frac{1}{n^2}} £

När $n \to \infty$ ser vi att uttrycket går mot

£ \frac{0 + 2 + 0}{3 + 0} = 2/3 £

 

Olika definitioner tycker Tomas om att hålla på med under föreläsningarna. De är väldigt abstrakta dock och ofta förvirrande.

 

Låt $f$ vara en funktion definierad för alla $x \geq a$, för något $x \in \mathbb{R} $

Vi säger att f konvergerar mot $A$ om det för varje $\epsilon > 0$ finns ett $N$ sådant att

$| f(x) - A | < \epsilon $ då $ x > N$

 

$f$ går mot $A$ $( f \to A)$ om man från y-axeln kan dra två linjer väldigt nära y och det inte för några punkter längre fram finns en punkt som frånskrider dessa. Alltså, om avståndet mellan $f(x)$ och $A$ hm.. det står i mina anteckningar att det är avståndet mellan $f(x)$ och $a$, men jag tänker att det borde vara $A$..

Hursomhelst, om man kan hitta små $\epsilon$ som $f(x)$ håller sig inom då $x \geq N$, där $N$ är en linje på x-axeln.

 

 

En funktion $f$ går mot $\infty$ då $x \to \infty$ om det för varje $M$

finns ett $N$ sådant att $f(x) \geq M$ då $x \geq N$

 

Funktionen är strängt växande om det för varje $M$ (tal i y-axeln) finns ett $N$ sådant att $f(x) \geq M$ då $x \geq N$. Den var rätt enkel tycker jag. Den säger kort sat att om en funktion hela tiden växer så är den strängt växande.